Bueno lo que voy a hacer a continuación es despejar la conocida fórmula que reza
-b±√b²-4.a.c
2.a
2.a
Para empezar tenemos una función cuadrática normal, es decir un polinomio de segundo grado del tipo:
ax² + bx + c
Lo primero que vamos a hacer es sacar a factor común. Como pueden ver, a no es factor común pero bueno no importa porque lo podemos forzar un poco de esta manera:
a.(x² + bx/a + c/a)
Como pueden ver lo que hice fue agarrar bx y c, y a los dos los multipliqué y los dividí al mismo tiempo por a. De esa manera me queda suelto x².
Ahora lo que voy a tratar de hacer es forzar que lo que tengo hasta ahora se transforme en un cuadrado perfecto del tipo a² + 2ab + b² . Primero hago esto:
a.(x² + 2.bx/2a + c/a)
Para que quede claro. Lo que hice fué multiplicar y dividir por 2 a bx/a. Ya estamos más cerca. Solo tengo que lograr meter en el paréntesis a (b/2a)² para completar el cuadrado perfecto.
Bueno pero eso lo puedo hacer muy facilmente.
a.(x² + 2.bx/2a + (b/2a)² - (b/2a)² + c/a)
Muy sencillo, lo único que tuve que hacer fué sumar y restar (b/2a)² al mismo tiempo.
Tenemos el cuadrado completo y ahora la función va teniendo este aspecto:
a.( (x+b/2a)² - b²/4a² + c/a) y dado que tenemos a a como denominador, podemos sacar - b²/4a² + c del paréntesis.
Así estamos hasta acá:
a.(x+b/2a)² - b²/4a + c => a.(x+b/2a)² = b²/4a -c
Espero que valla quedando claro, ya casi termino.
Ahora esta movida es un poco rara. Voy a forzar que 4a se transforme en denominador común a la derecha, multiplicando y dividiendo a -c.
a.(x+b/2a)² = (b2-4.a.c)/4a
Pero ahora paso la a de la izquierda dividiendo a la derecha y tengo
(x+b/2a)² = (b²-4.a.c)/4a²
El cuadrado lo podemos correr a la derecha como raíz, y nos va quedando
a.(x² + bx/a + c/a)
Como pueden ver lo que hice fue agarrar bx y c, y a los dos los multipliqué y los dividí al mismo tiempo por a. De esa manera me queda suelto x².
Ahora lo que voy a tratar de hacer es forzar que lo que tengo hasta ahora se transforme en un cuadrado perfecto del tipo a² + 2ab + b² . Primero hago esto:
a.(x² + 2.bx/2a + c/a)
Para que quede claro. Lo que hice fué multiplicar y dividir por 2 a bx/a. Ya estamos más cerca. Solo tengo que lograr meter en el paréntesis a (b/2a)² para completar el cuadrado perfecto.
Bueno pero eso lo puedo hacer muy facilmente.
a.(x² + 2.bx/2a + (b/2a)² - (b/2a)² + c/a)
Muy sencillo, lo único que tuve que hacer fué sumar y restar (b/2a)² al mismo tiempo.
Tenemos el cuadrado completo y ahora la función va teniendo este aspecto:
a.( (x+b/2a)² - b²/4a² + c/a) y dado que tenemos a a como denominador, podemos sacar - b²/4a² + c del paréntesis.
Así estamos hasta acá:
a.(x+b/2a)² - b²/4a + c => a.(x+b/2a)² = b²/4a -c
Espero que valla quedando claro, ya casi termino.
Ahora esta movida es un poco rara. Voy a forzar que 4a se transforme en denominador común a la derecha, multiplicando y dividiendo a -c.
a.(x+b/2a)² = (b2-4.a.c)/4a
Pero ahora paso la a de la izquierda dividiendo a la derecha y tengo
(x+b/2a)² = (b²-4.a.c)/4a²
El cuadrado lo podemos correr a la derecha como raíz, y nos va quedando
x+b/2a = √(b²-4.a.c)/4a²
Como tenemos una raíz, y el resultado de una raíz siempre da positivo, eso significa sale sin signo. Por eso es necesario sumar y restar el resultado para encontrar x.
Ahora pasamos +b/2a a la derecha restando.
x = -b/2a ± √(b²-4.a.c)/4a²
Pero como 4a² es un cuadrado podemos sacarlo de la raíz y queda como denominador común con el 2a que está dividiendo a -b.
Entonces:
Fin.
Moraleja: A los matemáticos no les molesta sumar y restar el mismo número o multiplicar y dividir el mismo número indiscriminadamente para alcanzar sus retorcidos objetivos.
Entonces:
-b ± √(b²-4.a.c) = x
2a
2a
Fin.
Moraleja: A los matemáticos no les molesta sumar y restar el mismo número o multiplicar y dividir el mismo número indiscriminadamente para alcanzar sus retorcidos objetivos.
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